بررسی کران ‎های ضریب همبستگی پیرسون و کاربرد آن در تحلیل خسارت‎های بیمه‎ای

در پژوهش ‎‌‌های بیم ‎‌سنجی، خسارت‎‌‌ های ‌بیمه‌‎ای را با ‌‌‌توزیع ‎‌‌های احتمالی مناسب مدل‌‎بندی  می‌کنند. از آنجا که خسارت‎‌ها، پس از ارزیابی، با واحد‌‌های پولی معین می‌‎شوند از توزیع‎‌‌‌هایی که مقادیر مثبت را اختیار می‌‎کنند برای مدل‌‎بندی‎‌ آن‎‌ها استفاده می‌‎شود. علاوه بر این، با توجه به قرارداد‌‌‌های بیمه‌‎ای، خسارت‎‌ها در یک محدوده کراندار قرار می‌‎گیرند که بایستی در مدل‌‎بندی لحاظ شوند. این ویژگی‌ها در حالت یک متغیره دشواری و محدودیت چندانی ایجاد نمی‌‎کند. اما در حالت چند متغیره مساله قدری پیچیده‌‎تر می‌‎شود. در چنین شرایطی مفصل‎‌ها می‌‎توانند مفید واقع شوند. با این وجود بررسی همبستگی بین متغیر‌ها، به عنوان نخستین گام در تحلیل چندمتغیره، نقش مهمی‌ ایفا می‌‎کند. بر این اساس بررسی تاثیر کراندار بودن خسارت‎‌ها بر همبستگی بین آن‎‌ها مساله‌‎ای است که در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در این راستا ضریب همبستگی پیرسون، به عنوان متداول‌‎ترین شاخص برای بررسی رابطه بین متغیر‌ها، مورد استفاده قرار گرفته است. ابتدا مساله بر پایه ضریب همبستگی بین دو متغیر تصادفی بررسی شده و در ادامه بررسی‎‌ها بر روی برآورد گشتاوری ضریب همبستگی پیرسون انجام شده است. داده‎‌‌‌های مربوط به خسارت‎‌‌‌های مالی و جانی ‌بیمه‌‎نامه‎‌‌‌های شخص ثالث در یکی از شرکت‎‌‌‌های ‌بیمه‌ ایرانی به عنوان یک مطالعه موردی بررسی شده است. کران‎‌‌‌های پائینی و بالایی برای پارامتر ضریب همبستگی پیرسون و برآورد گشتاوری آن به دست آمده است. کران‎‌‌‌های مربوط به پارامتر ضریب همبستگی با توجه به تابع مفصل به دست آمده است در حالی که برای برآورد ضریب همبستگی از آماره‎‌‌‌های ترتیبی استفاده شده است. علاوه بر این با توجه به ماهیت داده‎‌ها، ضریب همبستگی بین خسارت‎‌‌‌های مالی و جانی به دو صورت محاسبه و با یکدیگر مقایسه شدند.مقایسه کران‎‌‌‌های به دست آمده نشان می‌‎دهد که کران‎‌‌‌های +1 و -1 برای ضریب همبستگی پیرسون در خسارت‎‌‌‌های ‌بیمه‌‎ای در دسترس نیست و کران‎‌‌‌های باریک‌‎تری برای این ضریب قابل ترسیم است.

exploring limits for the pearson correlation coefficient and its application for study of insurance losses

in actuarial studies, insurance losses are treated as random variables, and researchers seek appropriate probabilistic models to represent them. since losses are evaluated in terms of a unity amount, distributions with positive support are typically usedto model them. while this poses no issue for univariate cases, it becomes more complicated in multivariate scenarios. whilecopulas can be helpful in such situations, studying correlation is a crucial initial step. the pearson correlation coefficient,widely used in statistical analysis, measures the strength and direction of the linear relationship between two variables.furthermore, we analyze a real-world dataset from an iranian insurance company, including losses due to physical damageand bodily injury, as covered by third-party liability insurance. upper and lower limits for both the pearson correlationcoefficient and its estimator were derived from the analysis. furthermore, two methods were used to determine the correlationbetween physical damage and bodily injury, and then the results were compared. instead, our analysis reveals that narrowerbounds can be established for the pearson correlation coefficient in such cases. the results of this study provide importantinsights into modeling insurance losses in multivariate cases and have practical implications for risk management and pricing decisions in the insurance industry.