برآورد آماری عدد π با استفاده از مستطیل ها در مسئله سوزن بوفون

مسئله کلاسیک سوزن بوفون تجربه ای تصادفی است که در آن از پرتاب کاملاشانسی و بی قاعده سوزنی روی یک صفحه می توان برآوردیآماری برای عدد π به دست آورد. در این مسئله یک سوزن به تصادف روی صفحه ای که با خطوط موازی هم فاصله افراز شده است رها می شود.اگر پرتاب چندین بار بطور مستقل تکرار شود، بر حسب تعداد دفعاتی که سوزن با یکی از خطوط برخورد می کند برآوردگری برای عدد π به دستمی آید. در این مقاله فرض می کنیم صفحه بوسیله خطوط افقی و عمودی هم فاصله به مستطیل های هم اندازه افراز شده است. در این حالت نیز بر حسب تعداد دفعات برخورد سوزن با اضلاع یک مستطیل برآوردگر دیگری برای π به دست می آوریم. نشان می دهیم هر دو برآوردگر به طور مجانبی نرمال و نااریب هستند. به منظور مقایسه آنها، کارآیی مجانبی نسبی برآوردگرها را بدست آورده و نشان می دهیم برآوردگر بر اساس مستطیل کاراتر می باشد. همچنین برای عدد π فواصل اطمینان بدست می آوریم و نتایج عملی تعدادی پرتاب ارائه می شود.

Statistical estimation of the number π by rectangles in Buffon’s needle problem continuing title in this line (if required)

The Buffon rsquo;s needle problem is a random experiment leading to estimate of the number pi; by rdquo;randomly rdquo; throwing aneedle onto a plane partitioned by parallel lines. Indeed, in the independently repetitions of the experiment, based onthe number of times where the needle will cross a line, one can construct an estimator of pi;. The aim of this note is toobtain a better estimator (in some sense) by considering a model where the plane is partitioned by rectangles. We showthat both estimators are asymptotically normal and unbiased; and also the confidence intervals are obtained for pi;. Wecalculate the asymptotic relative efficiency of the estimators and show that the estimator based on the rectangles is moreefficient. The data of a real experiment is provided.