مشخص‌سازی چندجمله‌ای‌های درجۀ دوم

مقالۀ حاضر ‏در پاسخ به تصور اشتباه دانشجویی شکل گرفت که می‌پنداشت سرعت متوسط یک ذره در حرکت مستقیم در یک بازهٔ زمانی برابر میانگین حسابی سرعت‌های آن در ابتدا و انتهای آن بازه است. با اثبات جبری نشان می‌دهیم این تصور فقط در‌صورتی‌که ذره شتاب ثابتی داشته باشد برقرار است. همچنین یک مشخص‌سازی از توابع مشتق‌پذیر روی بازهٔ ‎(-∞,+∞)‎ ارائه می‌دهیم که تحدید آن‌ها روی ‎(-∞,0)‎ و ‎(0,+∞)‎ چندجمله‌ای‌های درجۀ دوم‌اند. به‌علاوه‏، بدون استفاده از حساب دیفرانسیل نشان می‌دهیم که یک ‏وجه خاص از قضیۀ مقدار میانگین فقط برای چندجمله‌ای‌های درجۀ دوم برقرار است.

‎characterizations of ‎q‎uadratic polynomials

this note was motivated by a student's misconception that the average velocity over a time intervalof a particle in rectilinear motion is the arithmetic mean of its velocities at the ends of the interval. we presentan algebraic proof that this property holds only if the particle has constant acceleration, thereby recovering awell-known result. a characterization is also provided of differentiable functions on (−∞,∞) whose restrictionsto the intervals (-∞ 0]‎‎ and ‎‎[0,∞)‎‎ are quadratic polynomials. in addition, a calculus-free proof is presented toshow that a certain feature of the mean value theorem holds only for quadratic polynomials.