آیا حساب متعیّن است؟

آیا حساب متعیّن و قطعی است؟ به‌عبارت‌دیگر، آیا به ازای هر حکمی در حسابِ اعداد طبیعی، دلیلی برای درستی یا نادرستی آن حکم وجود دارد؟ برای مثال، آیا شواهدی برای درستی یا نادرستی حدس گولدباخ وجود دارد ‌حتی اگر ما از آن‌ها آگاه نباشیم؟ در وهلهٔ اول به نظر می‌رسد که پاسخ به‌وضوح مثبت است‎‏‏، اما از کجا مطمئن باشیم؟ قضیهٔ ناتمامیت گودل در این مورد چه می‌گوید؟ مستقل بودن برخی احکام نظریهٔ مجموعه‌ها مانند اصل انتخاب و فرضیهٔ پیوستار ‌ چه ارتباطی با این موضوع دارد؟ در این مقاله به بررسی این پرسش‌ها می‌پردازیم. علاوه‌بر‌این، تاثیر وجود امکانات نامتعارفی از قبیل ماشین‌های محاسبی که قادر به انجام تعدادی نامتناهی دستورالعمل در زمانی متناهی‌اند و همچنین دستگاه‌های اثباتی مجهز به قواعد نامتناهی را بر پاسخ این پرسش‌ها بررسی خواهیم‌ کرد.

is arithmetic determinate?

is arithmetic determinate and definitive? in other words, are there reasonsfor the correctness or falsity of each arithmetic sentence? for example, is there evidencethat goldbach’s conjecture is true or false, even if we don’t know about it? atfirst glance, the answer seems to be clearly yes. but how can you be sure? what doesgödel’s incompleteness theorem say about this? what is the relationship between independenceof some axioms of set theory, such as the axiom of choice and the continuumhypothesis, with these questions? in this article, we will examine these questions. inaddition, we will examine the impact of the presence of unconventional facilities suchas computing machines that are able to perform an infinite number of instructions in afinite time, as well as proof systems equipped with infinite rules on the answers to theabove questions