اتحاد کوواریانس تعمیم‌یافته برای خانوادهٔ پیرسن با کاربردهایی در تعیین کران‌های پایین واریانس

در این مقاله نشان می‌دهیم که تحت شرایط گشتاوری معمول، برای یک متغیر تصادفی صحیح‌مقدارِ مطلقاً پیوسته ‎x‎ از خانواده پیرسن ‎(اُرد)‎ اتحاد کوواریانس نوع استاین از مرتبهٔ ‎k‎ برقرار است. این اتحاد به دنبالۀ چندجمله‌ای‌های متعامد متناطر، که توسط فرمول نوع رودریگز به‌دست می‌آید، ارتباط می‌یابد و عبارت‌های مناسبی برای ضرایب فوریه‎‏ٔ هر تابع دلخواه به دست می‌دهد. از این اتحاد کوواریانس عبارت‌های جدیدی را برای کران‌های پایینِ واریانس متناظر به دست می‌آوریم؛ به نظر می‌رسد که این عبارت‌ها فقط در چند مورد خاص، مانند توزیع نرمال و فرایندهای پواسون و وینر‏، شناخته شده‌اند.

an extended covariance identity for the pearson family with applications to lower variance bounds

for an absolutely continuous (integer-valued) r.v. x of the pearson (ord)family, we show that, under natural moment conditions, a stein-type covariance identityof order k holds. this identity is closely related to the corresponding sequenceof orthogonal polynomials, obtained by a rodrigues-type formula, and provides convenientexpressions for the fourier coefficients of an arbitrary function. applicationof the covariance identity yields some novel expressions for the corresponding lowervariance bounds for a function of the r.v. x, expressions that seem to be known onlyin particular cases.