روش بهینه‌سازی نیوتن در فضاهای ژئودزیک

بسیاری از فضاهای مهم در مسائل مربوط به علوم داده یا مهندسی‏، فضا‌های غیرخطی‌‌اند. ازاین‌رو‏، در سال‌های اخیر روش‌های عددی برای بهینه‌سازی تابع‌های تعریف‌شده روی خمینه‌های ریمانی، مورد توجه و پژوهش بسیاری قرار گرفته است. ازطرف‌‌دیگر، هندسه‌دانانی چون آلیکساندرف و گرومُف، با ابداع فضاهای ژئودزیک، دریچۀ تازه‌ای به مطالعۀ اشیاء هندسی گشودند. این فضاها تعمیم خمینه‌های ریمانی‌اند و‏، علاوه‌بر مزیت‌های دیگر، فاقد پیچیدگی‌های تانسوری این خمینه‌ها هستند. این فضاها بسیاری از اشیاء ناهموار ریاضی، ازجمله گراف‌ها یا خمینه‌های توپولوژیک را هم شامل می‌شوند. در این مقاله‏، روش نیوتن برای یافتن نقطۀ مینیمم یک تابع خودسازگار روی فضاهای متری ژئودزیک ارائه می‌شود. از مزیت‌های مهم این نوع بررسی در قیاس با روش نیوتن روی خمینه‌های ریمانی‏، سادگی بسیارِ نظریه و کاهش حجم محاسبات است. علی‌رغم نبود ساختار هموار و جبر تانسوری روی خمینه‌ها‏، صرفاً با استفاده از مفهوم »‎خم ژئودزی‎»‎ نشان می‌‌دهیم که می‌توان روش نیوتن را به‌شکلی موفق و حتی ساده‌تر روی ردۀ وسیعی از ساختارهای معمول ریاضی طراحی و اجرا کرد.