مباحثی از نظریۀ هندسی توابع بر قرص واحد (قسمت اول)

یکی از مباحث بسیار مهم و جالب در آنالیز مختلط، بررسی ویژگی های هندسی تابع هایی است که بر قرص واحد {1>|d = {z ∈ c : |z در صفحۀ مختلط تعریف شده اند. روشن است که نمودار تابع تحلیلی f(z) = z +σ∞ n=1 an zn (z ∈ d) ترسیم پذیر نیست ولی برد آن، یعنی مجموعۀ f(d) توصیف هندسی دارد. از طرف دیگر، کوشش برای  پاسخ دادن به این سوال که چه ارتباطی بین ویژگی های هندسی برد این گونه تابع ها مانند ستاره وار بودن و محدب بودن با ضرایب an بسط تیلور وجود دارد، منجر به پیدایش نظریه ای مهم با عنوان ویژگی های هندسی تابع های تک ارز شد که منشاء آن، حدس معروف بیبرباخ است.در این مقاله، ضمن بررسی تاریخی این موضوع،به برخی از کارهای پژوهشی جدید در این زمینه اشاره می‌کنیم.